برای حل سوال دادهشده، ابتدا باید تعداد کل شمارندههای عدد \( B \) و تعداد شمارندههای مرکب آن را پیدا کنیم.
عدد \( B \) برابر است با:
\[ B = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7 \]
### الف) تعداد کل شمارندهها
اگر یک عدد به صورت تجزیهی زیر باشد:
\[ p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_n^{a_n} \]
تعداد کل شمارندههای آن از رابطه زیر بهدست میآید:
\[ (a_1 + 1)(a_2 + 1) \ldots (a_n + 1) \]
برای عدد \( B \):
- \( a_1 = 4 \)
- \( a_2 = 3 \)
- \( a_3 = 2 \)
- \( a_4 = 1 \)
تعداد کل شمارندهها برابر است با:
\[ (4 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \]
### ب) تعداد شمارندههای مرکب
شمارندههای مرکب به شمارندههایی گفته میشود که بجز یک و خودش، شمارندههای دیگری هم داشته باشند. برای پیدا کردن تعداد شمارندههای مرکب، تعداد شمارندههای اول و یک را از تعداد کل شمارندهها کم میکنیم.
تعداد شمارندههای اول و یک:
- شمارندههای اول: \( 2, 3, 5, 7 \)
- خود عدد 1 نیز شمارنده میباشد.
بنابراین تعداد شمارندههای اول و یک برابر است با:
\[ 4 + 1 = 5 \]
تعداد شمارندههای مرکب:
\[ 120 - 5 = 115 \]
**پاسخ نهایی:**
- الف) تعداد کل شمارندهها: 120
- ب) تعداد شمارندههای مرکب: 115
